Fundamentos matemáticos para data science

Aritmética

Operaciones básicas de matemáticas

• Qué es la aritmética?
  • La rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones que se hacen con ellos.
  • Trabaja solo con números.
• Operaciones básicas:
  • Suma (+).
  • Resta (-).
  • Multiplicación (*).
    • Es una suma repetida.
    • Es conmutativa:
      • El orden de los factores no altera el producto.
  • División (/).
    • Es una resta repetida.

Potenciación y sus propiedades

$m^n$

• $m$ es la base y $n$ es el exponente.
• Es una multiplicación repetida.
• Propiedades:
  • En la multiplicación de dos potencias con la misma base los exponentes se suman.
  • En la división de dos potencias con la misma base los exponentes se restan
  • Una potencia elevada a la cero da 1.
  • Una potencia cuya base es 0 siempre va a dar 0, no importa el exponente.

Radicación y sus propiedades

$4^2=16$

$\sqrt[2]{16}=4$

• Es la operación inversa a la potencia.
• Encuentra la base de la potencia, es decir de donde vino el número.
• También podríamos pensar en por ejemplo $\sqrt[2]{16}=2$ como:
  • Qué número debemos de multiplicar 4 veces para obtener 16?
• A esta operación se le llama raíz.

Orden de operadores

1. Paréntesis / Corchetes.
2. Exponentes / Raíces.
3. Multiplicación/ División.
4. Adición / Sustracción

Factorización

• Es el proceso de encontrar factores.
  • Son elementos que podemos multiplicar para sacar el resultado.
  • Todo esto para dividir una expresión en una más pequeña.
• Métodos:
  • Test de divisibilidad.
    • 1 Siempre es un factor de cualquier número.
    • No existe un factor mayor a la mitad del número.
      • Por lo tanto podemos empezar a buscar sus factores desde la mitad del número.
      • Podemos empezar a sacarlos dividiendo el número entre 1,2,3,4…
        • Si el resultado es entero, entonces es un factor.
  • Método de primos:
    • Los números primos son divisibles por ellos mismos y por 1.
      • Son la base para componer todos demás números usándolos de factores.
      • Son primos de primero.
    • Podemos usarlos para sacar los factores de un número.
      • dividiendo entre números primos.

Principios del álgebra

Principios del álgebra

• la $x$ simboliza una variable.
  • Es desconocida, puede cambiar y es variable.
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones y con una o más variables.
• Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones relacionadas las cuales comparten sus variables.
  • El resultado de sus variables debe de ser el mismo.

Propiedades de las ecuaciones

• Reflexiva/idéntica:
  • Toda cantidad o expresión matemática es igual a si misma.
  • b = b, a = a
• Simétrica:
  • Establece que sin importar el orden de los miembros de la igualdad prevalece.
  • a + b = c, c = a + b
• Transitiva:
  • Si los miembros que conforman una igualdad tienen un elemento en común, se dice que este elemento es igual a cualquiera de los 2 miembros de la igualdad.
  • a = b, b = a, a = c, a = b, a = c, b = c
• Uniforme:
  • Si se aumenta/disminuye la misma cantidad de los miembros de una igualdad, esta prevalece.
  • 4 + 3 = 7, 4 + 3 + 2 = 7 + 2
• Cancelativa:
  • Al suprimir 2 elementos/cantidades iguales en ambos miembros (lados) la igualdad se mantiene:

Orden de despeje

• Se usa el orden inverso a el orden de operadores:
  1. Adición y sustracción.
  2. Multiplicación y división.
  3. Exponentes y Raíces.
  4. Paréntesis y corchetes.
• Esto se usa como orden de despeje

Despejando exponentes y raíces en álgebra

• La operación inversa de los exponentes son las raíces.
• Podemos expresar raíces como exponentes fraccionarios.
  • $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$
  • $\sqrt{x}=x^{}1/2$
  • $\sqrt[5]{x}=x^{}1/5$
• Pero por ejemplo también la raíz es la operación inversa de $x^2$ y $\sqrt[3]{x}$ es la inversa de $x^3$.
  • Por lo tanto se eliminan los exponentes o las raíces directamente sin hacer operaciones con fracciones.

Polinomios

Polinomios

• Literalmente "Varios términos".
• Un termino:
  • Tiene una parte que es un número y una parte variable,
    • EJ: $4x$
    • El número es el coeficiente y la x la variable.
• Entre más términos tenga le podemos llamar, Monomio, Binomio o trinomio.
• Al termino con variable 0 le llamamos constante.

Simplificando polinomios

• Necesitamos agrupar términos semejantes.
  • Son aquellos términos cuya variable es igual podemos sumar o restar estos términos.

La propiedad distributiva de la multiplicación

• Básicamente:
  • $3\text{\hspace{0.25em}}(4+6)$ podemos rae-escribirlo como: $(3\text{4})+(3\text{6})$.
  • Podemos distribuir la multiplicación.

Funciones

Qué es una función?

• Podemos pensar en una función como una caja.
  • Tenemos valores de entrada y tenemos valores de salida.
  • Lo que hay dentro de esa caja son reglas, una operación, que transforma los valores de entrada en los de salida.
  • Cada valor de entrada corresponde a solo uno de los valores de salida.
  • Tiene dominio (valores de entrada) y un rango (valores de salida).
• Función(entrada) = salida o expresado de otra manera: $f(x)=y$.

Tabulación de funciones

• Hay variables dependientes y variables independientes.
• En este caso la variable dependiente son los valores de los cuales depende la función.
  • Los valores independientes son los que se le dan a la función.
  • En $f(x)=y$ $x$ seria la variable independiente y $y$ la variable dependiente.
• Las funciones las podemos tabular en una tabla.

Podríamos tabular la función: y = 2x

x	y
4	8
2	4
0	0
-2	-4

La variable y depende del valor de x por lo tanto es la variable dependiente.

El plano cartesiano

• Las funciones las podemos gráficar.
• Es una recta numérica de dos dimensiones para gráficar dos variables x y y.
• En esta podemos visualizar los resultados de una función, las variables independientes y dependientes.
• También conocido como el eje de las abscisas(x) y ordenadas(y).
• Nos permite visualizar los valores negativos y positivos.
• Hay 4 cuadrantes:
  • Cuadrante 1: x y y son positivos.
  • Cuadrante 2: x es negativos y y es positivo.
  • Cuadrante 3: x y y son negativos.
  • Cuadrante 4: x es positivo y y es negativo.

Gráficas

Test linea vertical

• Podemos gráficar una función y podemos saber si es una función desde la gráfica.
• Si trazamos una linea vertical y la gráfica de esta la corta en dos partes o más en cualquier punto de la gráfica.
  • Si esto pasa no es una función.
    • Esto porque en una función para cada x hay solo una y, y que la linea corte en dos o más lugares indica que existe más de una y para cada x.

Funciones lineales

• Tienen la forma $y=m^x+b$.
  • Donde m es llamada la pendiente.
  • No importa que tan grande sea la m, no llegara a ser vertical.
  • Pero si m = 0 si podemos tocar el eje horizontal, teniendo una linea horizontal.
  • b es una constante y es el punto de corte en el eje y.

Cómo identificar funciones lineales a partir de una ecuación

• Si hay un exponente elevado a una potencia cuadrada, no es una función lineal.